有限元刚度矩阵的推导及线性分析

　　有限元法可以被考虑为结构分析的一种通用方法，它是将连续体分成有限个单元，相互由结点联结的理想的结点系统。先进行单元分析，用结点位移表示单元内力，然后将单元再合成结构，进行整体分析，建立整体平衡条件，由此求出结点位移。

　　作为分析的目的，应给出结点荷载、结构的儿何条件如结点位置和结构单元的刚度性质，求出结构单元中的结点位移和内应力。由直接刚度法对由一维单元组成的各种结构的线性分析已在许多结构分析的著作中有详细的论述。

　　有限单元理想化的连续塱结构的线性分析，可以采用相同的方法推导出各个有限单元的刚度矩阵。二维有限单元可以是三角形、矩形或一般平行四边形。有限单元不只是从原始结构上切取且在点处联结起来的片块，而且是以特定方式限制变形的特定的弹性单元，否则就会造成结构的柔度增加，或在点处产生高度应力集中。当点达到平衡和连续时，沿着整个单元交界处平板单元之间的连续性还是趋向干满意的。

　　有限元刚度矩阵的推导

　　对于任何均勻的连续体，各个单元刚度矩阵可由能量原理确定，例如虚功原理。无论涉及什么型式或形状的单元，都包括了如下同样的基本步骤：

　　（1）用表示单元内任一点的位移，r表示点位移表示假设的位移函数，用以F函数

　　来近似表达连续体内单元的真实位移特性：

　　除特殊情况外，上述方程中的积分在计箅机中可由数值积分进行。一旦单元刚度矩阵被计算出来，并由局部坐标系转换成总体坐标系，就可通过单元刚度矩阵有规则的迭加形成结构刚度矩阵。

　　{R}=LK{r}（1-11）

　　已知的外点荷载[K]为结构刚度矩阵。由上述方程式求出点位移后，在每个单元内的单元应力可由上述应力位移关系式求得。

　　非线性分析

　　结构非线性特征主要表现在材料非线性或几何非线性。在某些特殊结构单元和体系中，它们的几何非线性显得较突出，如长柱、柔性拱和一些薄壳结构都得考虑它们的位移对内力的影响。

　　此外，在钢筋混凝土结构中，无论是钢筋还适混凝土，都存在材料非线性，在精理论分析中应当予以考虑，它包括在短时间荷载作用下混凝土的开裂以及混凝土、钢筋、粘结和骨料嵌锁的非线性应力应变关系，还包括在持久荷载作甩下与时间有关的因素的影响，如徐变、收缩、温度和荷载演变等

　　非线性问题的一般解法

　　（1）割线法（也叫直接迭代法或变刚度法）

　　假设存在非线性应力应变关系，可以用函数关系式表达如下：

　　W=（1-12）

　　式中弹性矩阵[D]不是常数，而是应变{e}的函数，从而也是位移{r}的函数：

　　[D]=[Z）（{e}）]=[/e）（{/r}）]（1-13）每次电下式求位移近似值：

　　直到与两者充分接近为止

　　（2）切线刚度法（牛顿一莱布逊Newton-Raphsop法）

　　和上述割线法一样，对于非线性间题，一般可以写與下列形式的一组代数方程式：这种解法一般收敛于解的邻近。不过，如一开始"猜”不好，也可能发散。

　　（3）初始刚度法（改进的牛顿一莱布逊法）

　　为克服在每次迭代过程中解全部新方程的困难，用同样的方程式反复做，总体可能是经济的，但收敛较慢。重庆君正的桥梁预压水袋具有搬运铺装方便快捷、成本低廉、可重复使用、符合预压支撑桥梁底模板载量计量，广泛适用于铁路公路桥梁建设。桥梁预压水袋长期接受定制，详情请咨询电话：15703040215（微信）。